x(t) = 2 + 4 * sen(t)

y(t) = 3 - 2 cos(t)

0 ≤ t ≤ 2 * pi

Passo 1

Fala, galeeera!

Vamos esboçar o gráfico dessa curva para 0 <= t <= 2 pi . Essa parte é fácil, né?

Vou montar uma tabelinha para ajudar a gente:

Agora é só traçar os pontos e esboçar nosso gráfico:

Passo 2

Nessa parte ele tá pedindo pra gente determinar a equação CARTESIANA da curva.

Bem, já nos foi dada a equação paramétrica da nossa curva.

Olhando para elas, já conseguimos notar que parece muuuito com as equações paramétricas de uma elipse, certo?

E também já sabemos que a equação cartesiana de uma elipse é dada por:

((x - x_0)^2)/(a ²) + ((y - y_0)^2)/(b ²) = 1

Onde, a = semieixo de x , b = semieixo de y , x_0 e y_0 são suas coordenadas do centro da elipse.

E temos que, em coordenadas polares:

{[[x,-,x_0,=,a,s,e,n,(t)],[y,-,y_0,=,b,c,o,s,(t)]])

Relembrando tudo isso, podemos seguir com a nossa resolução!

{[[x,-,x_0,=,a,s,e,n,(t),->,x,-,x_0,=,2,+,4,s,e,n,(,t,)],[y,-,y_0,=,b,c,o,s,(t),->,y,-,y_0,=,3,-,2,c,o,s,,(,t,)]])

Assim, conseguimos notar que x_0 = 2 e y_0 = 3 .

Além disso, identificamos os nossos semieixos a = 4 , b = - 2 .

Logo,

{[[x,-,2,=,4,s,e,n,(,t,)],[y,-,3,=,-,2,c,o,s,(t)]])

Como já sabemos como é nossa equação cartesiana da elipse, é só substituir os valores que encontramos!

((x - 2)^2)/(4^2) + ((y - 3)^2)/((- 2)^2) = 1

Logo,

((x - 2)^2)/(16) + ((y - 3)^2)/(4) = 1

Arrumando tudo:

(x - 2)^2 + 4 (y - 3)^2 = 16

Essa é a nossa equação cartesiana.

Resposta

Esboço do gráfico descrito nos passos acima.

A equação cartesiana é:

(x - 2)^2 + 4 (y - 3)^2 = 16