Diz -se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem f X = { f x ; x ∈ X } é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se sup f = sup ⁡ f x ; x ∈ X . Prove que se f , g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem -se sup f + g ≤ s u p f + s u p g . Dê um exemplo com sup ⁡ f + g < s u p f + s u p g . Enuncie e prove um resultado análogo para inf.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nesse exercício diz -se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem f X = { f x ; x ∈ X } é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se sup f = sup ⁡ f x ; x ∈ X . Prove que se f , g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem -se sup f + g ≤ s u p f + s u p g . Dê um exemplo com sup ⁡ f + g < s u p f + s u p g . Enuncie e prove um resultado análogo para inf.

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

f X = { f x ; x ∈ X }

É limitada superiormente quando F = s u p ⁡ { f x ; X ∈ X }

ficando,

F , g : X → R ,     F + g : X → R

Tendo,

sup ⁡ F + g ≤ sup ⁡ F + sup ⁡ g  

sup ⁡ F + g 2 = s u p F 2 + s u p g 2

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

sup ⁡ F + g 2 = s u p F 2 + s u p g 2