1. Dizemos que uma função T: R → R é uma contração se existir um real lambda , com 0 ≤ λ < 1 tal que, quaisquer que sejam os reais x e y,

| T(x) - T(y) | ≤ λ | x - y |

Seja, então, T : R → R uma contração e considere um real a₀. Seja a sequência a_n, n ≥ 0, dadda por

a_n = T(a_{n-1}), n ≥ 1.

Prove

  1. | a₂ - a₁ | ≤ λ | a₁ - a₀ |
  2. | a₃ - a₂ | ≤ λ² | a₁ - a₀ |
  3. | a_{n+1} - a_{n} | ≤ λ^{n} | a_{1} - a_{0} |
  4. | a_{n+2} - a_{n} | ≤ [ λ^{n+1} + λ^{n} ] | a_{1} - a_{0} |
  5. | a_{n+p} - a_{n} | ≤ [ λ^{n+p-1} + λ^{n+p-2} + … + λ^{n} ] | a_{1} - a_{0} |
  6. | a_{n + p} - a_{n} | ≤ λ^{n} / (1 - λ) | a_{1} - a_{0}, para todo natural p e todo natural n.

Passo 1

Letra (a)

a 2 - a 1 = T a 1 - T ( a 0 ) ≤ λ a 1 - a 0 ,   0 < λ < 1 .

Portanto,

a 2 - a 1 ≤ λ a 1 - a 0

Passo 2

Letra (b)

a 3 - a 2 = T a 2 - T ( a 1 ) = T ( T a 1 - T T a 0 ≤ λ T a 1 - T a 0 ≤ λ 2 a 1 - a 0

Portanto,

a 3 - a 2 ≤ λ 2 a 1 - a 0

Passo 3

Letra (c)

Vamos fazer a prova por indução. Pelo item a, a afirmação é verdadeira para n = 1 . Supondo, agora, a n - a n - 1 ≤ λ n - 1 a 1 - a 0 ,   n ≥ 2 , vem

a n + 1 - a n = T a n - T ( a n - 1 ) ≤ λ a n - a n - 1 ≤ λ n a 1 - a 0

Portanto,

a n + 1 - a n ≤   λ n a 1 - a 0   ,   n ≥ 1 .

Passo 4

Letra (d)

a n + 2 - a n = a n + 2 - a n + 1 + a n + 1 - a n ≤ a n + 2 - a n + 1 + a n + 1 - a n = T a n + 1 - T a n + T a n - T a n - 1 ≤ λ a n + 1 - a n + λ a n - a n - 1 ≤ λ . λ n a 1 - a 0 + λ . λ n - 1 a 1 - a 0 = ( λ n + 1 + λ n ) a 1 - a 0

Portanto,

a n + 2 - a n ≤ [ λ n + 1 + λ n ] a 1 - a 0

Passo 5

Letra (e)

a n + p - a n = a n + p - a n + p - 1 + a n + p - 1 - a n + p - 2 + … + a n + 1 - a n ≤ a n + p - a n + p - 1 + a n + p - 1 - a n + p - 2 + … + a n + 1 - a n ≤ λ n + p - 1 a 1 - a 0 + λ n + p - 2 a 1 - a 0 + … + λ n a 1 - a 0 = [ λ n + p - 1 + λ n + p - 2 + … + λ n ] a 1 - a 0

Passo 6

Letra (f)

a n + p - a n ≤ λ n + p - 1 + λ n + p - 2 + … + λ n + 1 + λ n . a 1 - a 0     ( 0 ≤ λ < 1 )

Portanto,

a n + p - a n ≤ λ n 1 - λ a 1 - a 0

Resposta

Tudo demonstração

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