Duas funções f e g admitem primeira e segunda derivada em 0 e verificam as relações

f(0) = 2 / g(0) , f'(0) = 2; g'(0) = 4g(0) , g''(0) = 5, f''(0) = 6, f(0) = 3 .

  1. Se h(x) = f(x) / g(x) calcular h'(0) .
  2. Se k(x) = f(x) * g(x) * sen(x) calcular k'(0) .
  3. Calcular o limite de g'(x) / f'(x) quando x → 0 .

Passo 1

Olá galera! Esses exercícios são aplicações das regras da derivada do quociente, do produto e aplicação do limite de uma função. Depois das aplicações podemos usar cada uma das igualdades acima onde as funções f e g são dadas em função do ponto zero. Boora resolver cada uma das alíneas.

Passo 2

  1. Como h x = f ( x ) g ( x ) podemos usar a regra da derivada do quociente para calcular h ' ( x ) . Assim teremos,
  2. h ' x = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

    Fazendo x = 0 , teremos

    h ' 0 = f ' 0 g 0 - f ( 0 ) g ' ( 0 ) g 2 ( 0 )

    Vamos tentar colocar cada uma das funções em termos da g . Assim,

    h ' 0 = 2 g ' 0 g 0 - 2 g 0 ∙ g ' ( 0 ) g 2 ( 0 )

    h ' 0 = 4 g 0 g 0 - 2 g 0 ∙ 2 g ( 0 ) g 2 ( 0 )

    h ' 0 = 4 g 2 0 - 4 g 2 ( 0 )

    Como f 0 = 2 g ( 0 ) e 6 f 0 = 3 ⇒ f 0 = 1 2 então 1 2 = 2 g ( 0 ) ⇒ g 0 = 4 . Então,

    h ' 0 = 4 ∙ 4 2 - 4 4 2

    h ' 0 = 60 16

    h ' 0 = 15 4

    Passo 3

  3. Como k x = f x g x ( x )   podemos usar a regra da derivada do produto para calcular k ' ( x ) .
  4. k ' x = f x g ( x ) ' ( x )   + f x g ( x ) ( x )   '

    k ' x = f x ' g x + f ( x ) g ( x ) ' x + f x g ( x ) c o s c o s   ( x )    

    Fazendo x = 0 , teremos

    k ' 0 = f 0 ' g 0 + f ( 0 ) g ' ( 0 ) 0 + f 0 g ( 0 ) c o s c o s   ( 0 )    

    k ' 0 = f 0 ' g 0 + f ( 0 ) g ( 0 ) ' ∙ 0 + f 0 g ( 0 ) ∙ 1

    k ' 0 = f 0 g ( 0 )

    Como f 0 = 2 g ( 0 ) ⇒ f 0 g 0 = 2 . Então,

    k ' 0 = 2

    Passo 4

  5. Fazendo h x = g ' ( x ) f ' ( x ) , então

h x =   g ' ( x ) f ' ( x )  

Como f ' 0 = 2 g ' 0 ⇒ g ' 0 f ' 0 = 1 2 então podemos dizer que isto acontece quando x ⟶ 0 . Assim,

h x = g ' ( x ) f ' ( x )     = g ' ( 0 ) f ' ( 0 ) = 1 2

Resposta

  1. h ' 0 = 15 4
  2. k ' 0 = 2
  3. g ' ( x ) f ' ( x )   = 1 2