Enunciado

  1. Duas molas são presas em serie conforme mostra a figura 5.R.1. ignorando a massa de cada mola mostre que a constante k do sistema é dada por 1 k = 1 k 1 + 1 k 2 .
  2. Uma massa pesando W libras estica uma mola em 1 2   p é e uma outra diferente, em 1 4   p é .   As duas molas são presas, e a massa é então presa à mola dupla como mostra na figura 5.R.1. Suponha que o movimento seja libre e que não haja nenhuma força de amortecimento, supondo que a massa será inicialmente solta em um ponto 1 pé abaixo da posição e equilíbrio a uma velocidade de 2 3 p é s s para baixo.
  3. Mostre que a velocidade máxima da massa é 2 3   3 g + 1

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

W = k 1 × 1 2 → k = 2 W

E

W = k 2 × 1 4 → k 2 = 4 W

E provamos no item a) que k t = k 1 k 2 k 1 + k 2 logo k t = 4 3 W

E lembrando que W é peso, logo a sua massa é W g , podemos fazer nossa EDO:

x ' ' + k t W g x = 0

Passo 2

Vemos que k t W g = 4 3 w W g = 4 g 3 .   E façamos desse valor igual a ω 2 , ou seja, ω 2 = 4 3   g

Assim:

x ' ' + ω 2 x = 0

Fazendo y = e λ t ;     y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 2 = 0

λ = ± i ω

Logo

x t = c 1 e ( i ω ) t + c 2 e ( - i ω ) t

usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

x ( t ) = c 1 cos ⁡ ω t + i   s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω t - i   s e n ω t

x ( t ) = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

x ( t ) = a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t

Onde a e b são definidos pelas condições iniciais.

Passo 3

  1. É dito que a massa é solta da posição de 1 pé abaixo da posição de equilíbrio, logo x 0 = 1
  2. É também dito que ela parte com uma velocidade de 2 3 p é s s para baixo, logo x ' 0 = 2 3

De modo que:

x 0 = 1 = a

x ' 0 = 2 3 = b ω → b = 2 3 ω

Assim:

x t = cos ⁡ ω t + 2 3 ω   s e n ω t

Lembrando que ω 2 = 4 3   g → ω = 4 3   g = 2 g 3

x t = cos ⁡ 2   g 3   t + 1 3   3 g     s e n 2   g 3     t

Que pode ser escrito de forma igual a:

x t = 1 2 + 1 3   3 g 2   s e n   2   g 3   t ± cos - 1 ⁡ 1 3   3 g     1 2 + 1 3   3 g 2  

Resposta

x t = cos ⁡ 2   g 3   t + 1 3   3 g     s e n 2   g 3     t

Ou

x t = 1 2 + 1 3   3 g 2   s e n   2   g 3   t ± cos - 1 ⁡ 1 3   3 g     1 2 + 1 3   3 g 2  

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