Como encontramos a distância entre um ponto e uma reta no

espaço? E entre um ponto e um plano? Dê exemplos.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício vamos demonstrar como encontramos a distância de um ponto a uma reta no espaço e de um ponto até um plano. Fique tranquilo! Teremos um exemplo para ajudar no entendimento.

Passo 2

Para encontrar a distância de ponto Q à reta que passa pelo ponto P (paralelo ao vetor v ) teremos que encontrar o valor absoluto, ou seja, o módulo, da componente escalar de P Q → na direção do vetor normal à reta.Então o módulo da componente escalar é | P Q → | s e n ⁡ θ .Assim, continue acompanhando o raciocínio, a distância do ponto Q à reta, que passa por P e é paralela ao vetor v é descrita por:

d = | P Q → × v | | v |

Passo 3

Se o ponto P está localizado no plano que possui uma normal n , a distância de qualquer ponto Q até o plano é o módulo do vetor projeção de P Q → em n . Com isso a distância de Q ao plano é:

d = P Q → ⋅ n | n |

Passo 4

Como exemplo vamos encontrar a distância do ponto Q ( 2 , - 2,1 ) a reta L descrita por:

x = 2 + 4 t y = 3 - t z = 1 + t

Podemos ver que, para t = 0 , o ponto P ( 2,3 , 1 ) passa por L e é paralelo a v = 4 i - j + k , logo:

P Q → = ( 2 - 2 ) i + ( - 2 - 3 ) j + ( 1 - 1 ) k = - 5 k

O produto vetorial entre P Q → e o vetor v é calculado pelo determinante a seguir:

P Q → × v   = i j k 0 0 - 5 4 - 1 1   = - 5 i - 20 j

Passo 5

Por fim, a distância, que encontramos como resultado correto é:

d   = | P Q → × v | | v |   = ( - 5 ) 2 + ( - 20 ) 2 ( 4 ) 2 + ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2   = 425 18

Resposta

Resposta nos passos.