Encontre dy / dx :

y = sen^2(ln(x))

Passo 1

Observando a função, vemos que tem uma função composta. Onde temos uma função dentro da outra e para isso usaremos a Regra da Cadeira.

Vamos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

f g x '

y = s e n 2 ⁡ ( ln ⁡ x )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = s e n 2 ( g x )

u = g x = l n ⁡ ( x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f u = sen 2 ⁡ u

u = l n ⁡ ( x )

Que por substituição trigonométrica é:

f u = sen 2 ⁡ u = 1 - c o s ⁡ ( 2 u ) 2 = 1 - c o s ⁡ ( h ) 2

h = 2 u

Derivando primeiro a função f em relação a h :

d y d h = 1 2 . - ( - s e n h )

E derivando h em relação a u :

d h d u = 2

Aplicando na regra da cadeia :

d y d u = d y d h . d h d u = 1 2 . - - s e n h . 2

Substituindo h = 2 u , temos:

d y d u = s e n ( 2 u )

Sabendo que   u = l n ⁡ ( x ) , derivaremos u em relação a x :

d u d x = 1 x

Agora, é só pegarmos os termos obtidos e aplicar na Regra da Cadeia.

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde d y d x :

Sabendo que:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = s e n ( 2 u ) . 1 x

Substituindo u em d y d u :

d y d x = d y d x = s e n ( 2 . l n ⁡ ( x ) ) . 1 x

Reorganizando as fórmulas:

d y d x = s e n ( 2 . ln ⁡ x ) x

Resposta

d y d x = s e n ( 2 . ln ⁡ x ) x

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