Enunciado

Encontre (d y)/(d x) :

y = s e n^2 ( ln (x) )

Passo 1

Observando a função, vemos que tem uma função composta. Onde temos uma função dentro da outra e para isso usaremos a Regra da Cadeira.

Vamos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

(f (g (x))^')

y = s e n^2 ( ln (x) )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f (x) = s e n^2 ( g (x) )

u = g (x) = l n ( x )

Aplicando na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f (u) = sen^2 (u)

u = l n ( x )

Que por substituição trigonométrica é:

f (u) = sen^2 (u) = (1 - c o s ( 2 u ))/(2) = (1 - c o s ( h ))/(2)

h = 2 u

Derivando primeiro a função f em relação a h :

(d y)/(d h) = (1)/(2) . - ( - s e n (h) )

E derivando h em relação a u :

(d h)/(d u) = 2

Aplicando na regra da cadeia :

(d y)/(d u) = (d y)/(d h) . (d h)/(d u) = (1)/(2) . - (- s e n (h)) . 2

Substituindo h = 2 u , temos:

(d y)/(d u) = s e n ( 2 u )

Sabendo que u = l n ( x ) , derivaremos u em relação a x :

(d u)/(d x) = (1)/(x)

Agora, é só pegarmos os termos obtidos e aplicar na Regra da Cadeia.

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde (d y)/(d x) :

Sabendo que:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = s e n ( 2 u ) . (1)/(x)

Substituindo u em (d y)/(d u) :

(d y)/(d x) = (d y)/(d x) = s e n ( 2 . l n ( x ) ) . (1)/(x)

Reorganizando as fórmulas:

(d y)/(d x) = (s e n ( 2 . ln (x) ))/(x)

Resposta

(d y)/(d x) = (s e n ( 2 . ln (x) ))/(x)

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