Encontre dy / dx :

y = ln(ln(ln(x)))

Passo 1

Analisando a função dada, percebemos que existem três funções envolvidas, uma dentro da outra, mais ou menos com essa aparência:

f g h ( x '

E o que fazer quando isso acontece? Usaremos a Regra da Cadeia na derivada de um função composta.

Vamos fragmentar a função em f ( x ) , g ( x ) e h ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

y = l n ⁡ ( ln ⁡ ln ⁡ x )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = l n ⁡ ( g h ( x )

u = g x = l n ⁡ ( h ⁡ x )

h x = l n ⁡ ( x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f u = l n ⁡ ( u )

u = l n ⁡ ( h )

h = l n ⁡ ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

d y d u = 1 u

E derivando u em relação a h :

d u d h = 1 h

E derivando h em relação a x :

d u d x = 1 x

Agora, é só pegarmos os termos obtidos e aplicar na Regra da Cadeia.

Passo 3

Antes de começar a aplicar os termos, vamos observar que temos três funções envolvidas. Isso significa que teremos duas Regras da Cadeia.

Começamos a calcular a função g x = l n ⁡ ( ln ⁡ x ) . Isso significa que teremos que calcular d u d x :

d u d x = d u d h . d h d x

d u d x = 1 h . 1 x

Substituindo h em d u d h :

d u d x = 1 l n ⁡ ( x ) . 1 x

Reorganizando as fórmulas:

d u d x = 1 x . l n ⁡ ( x )

Agora, vamos calcular a Regra da cadeia da função principal f x :

Passo 4

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde d y d x :

Calculamos que:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = 1 u . 1 x . l n ⁡ ( x )

Substituindo u em d y d u :

d y d x = 1 l n ⁡ ( l n ⁡ ( x ) ) . 1 x . l n ⁡ ( x )

Reorganizando as fórmulas:

d y d x = 1 x . ln ⁡ ln ⁡ x . l n ⁡ ( x )

Resposta

d y d x = 1 x . ln ⁡ ln ⁡ x . l n ⁡ ( x )

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