Enunciado

Encontre (d y)/(d x) :

y = l n ( ln (ln (x)) )

Passo 1

Analisando a função dada, percebemos que existem três funções envolvidas, uma dentro da outra, mais ou menos com essa aparência:

(f (g (h ( x))^')

E o que fazer quando isso acontece? Usaremos a Regra da Cadeia na derivada de um função composta.

Vamos fragmentar a função em f ( x ) , g ( x ) e h ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

y = l n ( ln (ln (x)) )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f (x) = l n ( g (h ( x) )

u = g (x) = l n ( h (x) )

h (x) = l n ( x )

Aplicando na Regra:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f (u) = l n ( u )

u = l n ( h )

h = l n ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

(d y)/(d u) = (1)/(u)

E derivando u em relação a h :

(d u)/(d h) = (1)/(h)

E derivando h em relação a x :

(d u)/(d x) = (1)/(x)

Agora, é só pegarmos os termos obtidos e aplicar na Regra da Cadeia.

Passo 3

Antes de começar a aplicar os termos, vamos observar que temos três funções envolvidas. Isso significa que teremos duas Regras da Cadeia.

Começamos a calcular a função g (x) = l n ( ln (x) ) . Isso significa que teremos que calcular (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = (d u)/(d h) . (d h)/(d x)

(d u)/(d x) = (1)/(h) . (1)/(x)

Substituindo h em (d u)/(d h) :

(d u)/(d x) = (1)/(l n ( x )) . (1)/(x)

Reorganizando as fórmulas:

(d u)/(d x) = (1)/(x . l n ( x ))

Agora, vamos calcular a Regra da cadeia da função principal f (x) :

Passo 4

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde (d y)/(d x) :

Calculamos que:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

(d y)/(d x) = (1)/(u) . (1)/(x . l n ( x ))

Substituindo u em (d y)/(d u) :

(d y)/(d x) = (1)/(l n ( l n ( x ) )) . (1)/(x . l n ( x ))

Reorganizando as fórmulas:

(d y)/(d x) = (1)/(x . ln (ln (x)) . l n ( x ))

Resposta

(d y)/(d x) = (1)/(x . ln (ln (x)) . l n ( x ))

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