Encontre a aproximação linear local de f ( x , y ) = s e n ( x y ) em ((1)/(3) , pi) .

Passo 1

A aproximação linear local é encontrada por:

L (x , y) = f (x_0 , y_0) + f_x (x_0 , y_0) (x - x_0) + f_y (x_0 , y_0) (y - y_0)

Passo 2

Derivando:

f ((1)/(3) , pi) = s e n ((pi)/(3)) = (sqrt(3))/(2)

f_x (x_0 , y_0) = y c o s x y

f_x ((1)/(3) , pi) = pi c o s ((pi)/(3)) = (pi)/(2)

f_y (x_0 , y_0) = x c o s x y

f_y ((1)/(3) , pi) = (1)/(3) c o s ((pi)/(3)) = (1)/(6)

Agora é só fazer as contas:

L (x , y) = (sqrt(3))/(2) + (pi)/(2) (x - (1)/(3)) + (1)/(6) (y - pi) = (1)/(2) (sqrt(3) + (2 pi)/(3) + pi x + (y)/(3))

Bem tranquilinha, né?

Resposta

L (x , y) = (1)/(2) (sqrt(3) + (2 pi)/(3) + pi x + (y)/(3))