Encontre a área dos paralelogramos cujos vértices são dados nos Exercícios 35-40.

A(1, 0, -1), B(1, 7, 2), C(2, 4, -1), D(0, 3, 2)

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Temos que um dos encontros de vértice do paralelogramo, é a subtração das coordenadas do ponto escrito depois menos o ponto escrito antes. Por exemplo no caso, de:

A B →

É a subtração das coordenadas de B menos as coordenadas de A. Dessa forma:

A C → = i + 4 j

Já a outro encontro é formado por

D B → = i + 4 j

E eles são pararelos! Calculando agora:

A D → = - i + 3 j + 3 k

C B → = - i + 3 j + 3 k

E também são pararelos!

Para obtermos então a área, precisamos fazer A B → × B C → . Isso gera a seguinte matriz:

A C → × A D → = i       j       k 1       4       0 - 1     3       3  

E agora, precisamos achar o determinante dela.

Passo 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Traduzindo pra questão, temos a matriz:

A C → × A D → = i       j       k 1       4       0 - 1     3       3  

O determinante dela pode ser calculado como:

D = 12 i - 3 j + 7 k

Calculando o módulo:

D = 202

Portanto, a área do paralelogramo é igual a D = 202

Resposta

D = 202