Encontre a área dos triângulos cujos vértice são dados nos exercícios 41-47.

A(0, 0, 0), B(-1, 1, -1), C(3, 0, 3)

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Temos que um dos encontros de vértice do paralelogramo, é a subtração das coordenadas do ponto escrito depois menos o ponto escrito antes. Por exemplo no caso, de:

A B →

É a subtração das coordenadas de B menos as coordenadas de A. Dessa forma:

A B → = - i + j - k

Já a outro encontro é formado por

A C → = 3 i + 3 k

Para obtermos então a área, precisamos fazer A B → × A C → . Isso gera a seguinte matriz:

A B → × A C → = i       j       k - 1     1     - 1 3       0     3

E agora, precisamos achar o determinante dela.

Passo 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Traduzindo pra questão, temos a matriz:

A B → × A C → = i       j       k - 1     1     - 1 3       0     3

O determinante dela pode ser calculado como:

D = 3 i - 3 k

Sendo o módulo:

D = 3 2

Calculando a área, para um triangulo, temos que:

A = D 2 = 3 2 2

Resposta

A = 3 2