Encontre os centros e os raios das esferas nos Exercícios 55-58.

x^2 + y^2 + z^2 - 6y + 8z = 0

Passo 1

Eae gente, tudo bem?! Nesse exercício precisamos completar quadrados, ou seja, fazer surgir os quadrados que falta no produto notável, pois a equação da esfera é formada por três produtos notáveis.

Então temos que retornar da seguinte maneira: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , e fazer isso com x, y e z, para deixar de acordo com a equação da esfera e descobrir o raio e o centro.

x - x o 2 + y - y o 2 + z - z o 2 = r 2

Passo 2

Primeiro, vamos juntar x com x, y com y e z com z.

x 2 + y 2 + z 2 - 6 y + 8 z = 0

x 2 + ( y 2 - 6 y ) + ( z 2 + 8 z ) = 0

Agora, devemos completar os quadrados, lembrando, se algo aparece de um lado, deve aparecer também do outro.

x 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ x + 0 2 + y 2 + 2 ⋅ - 3 ⋅ y + - 3 2 + z 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ z + 4 2 = 3 2 + 4 2

x 2 + ( y - 3 ) 2 + z + 4 2 = 25

E chegamos na equação da esfera, agora podemos retirar o centro e o raio.

Passo 3

x 2 + y - 3 2 + z + 4 2 = 25

x - 0 2 + y - 3 2 + z - - 4 2 = 5 2

Centro: 0 , 3 , - 4 .

Raio: 5.

Resposta

Centro: 0,3 , - 4 .

Raio: 5.