Encontre os centros e os raios das esferas nos Exercícios 55-58.

2 * x^2 + 2 * y^2 + 2 * z^2 + x + y + z = 9

Passo 1

Eae gente, tudo bem?! Nesse exercício precisamos completar quadrados, ou seja, fazer surgir os quadrados que falta no produto notável, pois a equação da esfera é formada por três produtos notáveis.

Então temos que retornar da seguinte maneira: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 , e fazer isso com x, y e z, para deixar de acordo com a equação da esfera e descobrir o raio e o centro.

x - x o 2 + y - y o 2 + z - z o 2 = r 2

Passo 2

Primeiro, vamos juntar x com x, y com y e z com z.

2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + x + y + z = 9

Vamos dividir tudo por 2

x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 9 2

x 2 + x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 = 9 2

Agora, devemos completar os quadrados, lembrando, se algo aparece de um lado, deve aparecer também do outro.

x 2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ 1 4 + 1 4 2 + y 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 1 4 + 1 4 2 + z 2 + 2 ⋅ z 2 ⋅ 1 4 + 1 4 2

= 9 2 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2

x + 1 4 2 + y + 1 4 2 + z + 1 4 2 = 75 16

E chegamos na equação da esfera, agora podemos retirar o centro e o raio.

Passo 3

x + 1 4 2 + y + 1 4 2 + z + 1 4 2 = 75 16

x - - 1 4 2 + y - - 1 4 2 + z - - 1 4 2 = 75 16 2 = 5 3 4 2

Centro: - 1 4 , - 1 4 , - 1 4 .

Raio: 5 3 4 .

Bora pro próximo.

Resposta

Centro: - 1 4 , - 1 4 , - 1 4 .

Raio: 5 3 4 .