Encontre o comprimento de arco da curva mostrada na Figura 12.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que

9 y 2 = x x - 3 2

Diferenciando implicitamente, nós temos que,

18 y y ' = x - 3 2 + 2 x x - 3

Isolando o y ' , nós obtemos que

y ' = x - 3 2 + 2 x x - 3 18 y = 3 x 2 - 12 x + 9 18 y

Desenvolvendo um pouco mais,

y ' = 3 x 2 - 4 x + 3 18 y = ( x - 3 ) ( x - 1 ) 6 y

Passo 2

Com isso, vamos trabalhar com o 1 + y ' 2 , então

1 + y ' 2 = 1 + x - 3 x - 1 6 y 2

Desenvolvendo os termos

1 + y ' 2 = 1 + x - 3 2 x - 1 2 36 y 2

Um pouco mais,

1 + y ' 2 = 1 + x - 3 2 x - 1 2 4 ( 9 y 2 )

Para poder simplificar, nós sabemos que 9 y 2 = x x - 3 2 , substituindo no denominador, nós obtemos o seguinte resultado

1 + y ' 2 = 1 + x - 3 2 x - 1 2 4 x x - 3 2 = 1 + x - 1 2 4 x

Passo 3

Calculando o comprimento de arco,

s = ∫ a b 1 + y ' 2   d x = ∫ 0 3 1 + x - 1 2 4 x   d x

Desenvolvendo os termos,

s = 1 2 ∫ 0 3 x + 1 x   d x = 1 2 ∫ 0 3 x + 1 x   d x

Essa integral tem como resultado

s = 1 2 2 3 x 3 2 + 2 x 0 3 = 1 2 2 3 3 3 2 + 2 3

Com isso, nós temos que

s = 1 2 2 3 + 2 3 = 1 2 4 3 = 2 3

Resposta

s = 2 3