Encontre o comprimento de arco de y = 1 / 12 * x^3 + x^(-1) para 1 ≤ x ≤ 2 . Sugestão: mostre que 1 + (y')^2 = (1/4 * x^2 + x^-2)^2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que

y = 1 12 x 3 + x - 1

Onde a derivada é igual a

y ' = 1 4 x 2 - x - 2

Agora, vamos utilizar a sugestão dada no enunciado

1 + y ' 2 = 1 + 1 4 x 2 - x - 2 2

Desenvolvendo um pouco mais, temos

1 + y ' 2 = 1 + 1 4 x 4 - 1 2 + x - 4 = 1 4 x 4 + 1 2 + x - 4

Agrupando os termos

1 + y ' 2 = 1 4 x 2 + x - 2 2

Com isso, o comprimento de arco fica igual a

s =   ∫ 1 2 1 4 x 2 + x - 2 2   d x

Passo 2

Vamos calcular a integral, a primeira perceptível é a potência quadrática na raíz, com isso, podemos eliminar essa mesma raíz, logo,

s = ∫ 1 2 1 4 x 2 + x - 2   d x

Integral polinomial, simples de resolver

s =   1 12 x 3 - x - 1 1 2 = 1 6 + 11 12

Logo, o resultado é igual a

s = 13 12

Resposta

s = 13 12