(a) Encontre uma condição em M e N que seja necessária e suficiente para Mdx + Ndy = 0 ter um fator integrante que dependa somente do produto x^2 * y .

(b) Use o item (a) para resolver a equação

(2x + 2y + 2x^3y + 4x^2y^2) dx + (2x + x^4 + 2x^3y) dy = 0 .

Passo 1

Falaaa, tudo bem??

Nesta questão vamos usar algumas equações de EDO exatas para encontrar um fator integrante como ele nos pede letra (a).

Já na letra (b) apenas vamos usar a receita de bolo que criamos na (a). Bora lá!!

Passo 2

Se I ( x , y ) depende apenas do produto de x 2 y , então:

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ∂ F ∂ y

Multiplicando uma equação exata genérica por I .

I x , y M d x + I x , y N d y = 0

Agora, fazendo as derivadas parciais da equação acima:

∂ F ∂ x = I x , y M

Derivando a função em relação a y , que é o que a equação exata pede.

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = I x , y ∂ M ∂ y + M ∂ I ∂ y

Fazendo a mesma coisa com a derivada parcial em y .

∂ F ∂ y = I x , y N

Agora, derivando em relação a x .

∂ ∂ x ∂ F ∂ y = I x , y ∂ N ∂ x + N ∂ I ∂ x

E o que a equação exata nos pede, é a fórmula que já definimos acima:

∂ ∂ y ∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ∂ F ∂ y

Substituindo os valores de cada lado:

I x , y ∂ M ∂ y + M ∂ I ∂ y = I x , y ∂ N ∂ x + N ∂ I ∂ x

Isolando I .

I x , y ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = N ∂ I ( x 2 y ) ∂ x - M ∂ I ( x 2 y ) ∂ y

Derivando x 2 y parcialmente em relação a x sobra 2 x y , e em relação a y sobra x 2 .

I x , y ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x = I ' x ,   y N 2 x y - M x 2

I ' x ,   y I x , y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N 2 x y - M x 2

Achamos exatamente o que a letra (a) nos pede.

I ' x , y I x , y = H x 2 y

I ' x , y I x , y = H v

Então, se v depende da soma de x + y , integrando os dois lados temos:

I = e ∫ H ( v ) d v

Passo 3

Agora, vamos achar a solução da equação abaixo com o fator integrante.

2 x + 2 y + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 d x + 2 x + x 4 + 2 x 3 y d y = 0

Vamos calcular o H ( x , y ) para colocar na formula do fator integrante depois:

H x y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N 2 x y - M x 2

Calculando as derivadas de M e N .

∂ M ∂ y = 2 + 2 x 3 + 8 x 2 y

∂ N ∂ x = 2 + 4 x 3 + 6 x 2 y

Colando na fórmula de H ( x , y ) .

H x y = 2 + 2 x 3 + 8 x 2 y - 2 + 4 x 3 + 6 x 2 y 2 x y ( 2 x + x 4 + 2 x 3 y ) - x 2 2 x + 2 y + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2

H x y = 2 x 2 ( x - y ) x ( 2 x 2 - 2 x y )

H x y = 1

Usando a última fórmula que definimos no passo 2, onde v = x 2 y .

I = e ∫ H ( v ) d v

I = e ∫ 1 d v

I = e x 2 y

Achamos nosso fator integrante, agora podemos resolver a EDO do enunciado como uma equação exata.

2 x + 2 y + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 d x + 2 x + x 4 + 2 x 3 y d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

e x 2 y 2 x + 2 y + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 d x + e x 2 y 2 x + x 4 + 2 x 3 y d y = 0

A solução implícita é dada por:

F x ,   y = ∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ n ( y ) d y

Onde n ( y ) são os termos de N ( x , y ) que dependem apenas de y .

F x , y = ∫ e x 2 y 2 x + 2 y + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 d x + ∫ 0 d y

Com o fator integrante multiplicando todos os termos, não tem termo que depende só de y em N ( x ,   y ) .

F x , y = x 2 e x 2 y + 2 e x 2 y x + 2 x 2 e x 2 y y - e x 2 y x + c 1

E aqui está a solução da nossa EDO!!!

Resposta

  1. H x , y = ∂ M ∂ y - ∂ N ∂ x N 2 x y - M x 2
  2. F x , y = x 2 e x 2 y + 2 e x 2 y x + 2 x 2 e x 2 y y - e x 2 y x + c 1