Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a .

f(x, y) = e^x * cos(y); P(0, pi/4); a = 5i - 2j

Passo 1

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y no ponto P   0 , π 4 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = e x   c o s   y

f x   0 , π 4   = e 0   c o s   π 4 = 1 2

f y   x , y   = - e x   s e n   y

f y   0 , π 4   = - e 0   s e n   π 4 = 1 2

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   0 , π 4 e f y   0 , π 4 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i + u 2 j  

Porém o que nos foi fornecido é a direção de a , assim, para acharmos o vetor unitário temos que utilizar a fórmula:

u   = a ‖ a ‖ =   5 i - 2 j 5 2 + - 2 2 = 5 i - 2 j 29 =   5 29 i - 2 29 j

Agora é só fazer as substituições:

D u   f   0 , π 4 =   f x   0 , π 4 u 1 + f y   0 , π 4 u 2 = 1 2 * 5 29 + 1 2 * - 2 29 =   5 58 - 2 58 = 3 58

Bem tranquila, né?

Resposta

D u   f   0 , π 4 = 3 58