Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a .

f(x, y) = arctg(y/x); P(-2, 2); a = -i - j

Passo 1

Antes de começar a resolver, vamos relembrar uma derivada importante para essa questão.

a r c   t g   u = t g - 1   u

d ( t g - 1   u ) d x = 1 1 + u 2   d ( u ) d x

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y no ponto P   - 2 ,   2 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 1 1 + y x 2   - y x 2

f x   - 2 ,   2   = 1 1 + 2 - 2 2   - 2 ( - 2 ) 2 =   - 1 4

f y   x , y   = 1 1 + y x 2   1 x

f y   - 2 ,   2   = 1 1 + 2 - 2 2   1 - 2 =   - 1 4

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   - 2 ,   2 e f y   - 2 ,   2 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i + u 2 j  

Porém o que nos foi fornecido é a direção de a , assim, para acharmos o vetor unitário temos que utilizar a fórmula:

u   = a ‖ a ‖ =   - i - j - 1 2 + - 1 2 = - i - j 2 =   - 1 2 i - 1 2 j

Agora é só fazer as substituições:

D u   f   - 2 ,   2 =   f x   - 2 ,   2 u 1 + f y   - 2 ,   2 u 2 = - 1 4 * - 1 2 - 1 4 * - 1 2 =   2 4 2

Para melhorar a aparência do resultado, podemos fazer uma manipulação multiplicando por 2 2   , assim temos:

D u   f   - 2 ,   2 = 2 4 2 *   2 2 = 2 4

Bem tranquila, né?

Resposta

D u   f   - 2 ,   2 = 2 4