Enunciado

Encontre a derivada direcional de f   em P na direção de a .

f ( x ,   y )   =   x e y   -   y e x ;   P ( 0 ,   0 ) ;   a   =   5 i   -   2 j

Passo 1

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y no ponto P   0 ,   0 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = e y   -   y e x

f x   0 ,   0   = e 0   -   0 e 0 = 1

f y   x , y   = x e y   - e x

f y   0 ,   0   = 0 e 0   - e 0 =   - 1

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   0 ,   0 e f y   0 ,   0 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i + u 2 j  

Porém o que nos foi fornecido é a direção de a , assim, para acharmos o vetor unitário temos que utilizar a fórmula:

u   = a ‖ a ‖ =   5 i - 2 j 5 2 + - 2 2 = 5 i - 2 j 29 =   5 29 i - 2 29 j

Agora é só fazer as substituições:

D u   f   0 ,   0 =   f x   0 ,   0 u 1 + f y   0 ,   0 u 2 = 1 * 5 29 - 1 * - 2 29 =   7 29

Bem tranquila, né?

Resposta

D u   f   0 ,   0 = 7 29

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