Enunciado

Encontre a derivada direcional de f   em P na direção de a .

f x ,   y ,   z =   x y   +   z 2 ;   P   ( - 3 ,   0 ,   4 ) ;   a   =   i   +   j   +   k

Passo 1

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y no ponto P   - 3 ,   0 ,   4 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y , z   = y

f x   - 3 ,   0 ,   4   = 0

f y   x , y , z   = x

f y   - 3 ,   0 ,   4   = - 3

f z   x , y , z   = 2 z

f z   - 3 ,   0 ,   4   = 2 * 4 = 8

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   - 3 ,   0 ,   4 , f y   - 3 ,   0 ,   4 e f z   - 3 ,   0 ,   4 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 ,   z 0 =   f x   x , y , z u 1 + f y   x , y , z u 2 + f z   x , y , z u 3

Onde

u   = u 1 i + u 2 j   + u 3 k

Porém o que nos foi fornecido é a direção de a , assim, para acharmos o vetor unitário temos que utilizar a fórmula:

u   = a ‖ a ‖ =   i + j + k 1 2 + 1 2 + 1 2 = i + j + k 3 =   1 3 i + 1 3 j + 1 3 k

Agora é só fazer as substituições:

D u   f     - 3 ,   0 ,   4 =   f x   - 3 ,   0 ,   4 u 1 + f y   - 3 ,   0 ,   4 u 2 + f z   - 3 ,   0 ,   4 u 3 = 0 * 1 3 - 3 * 1 3 + 8 * 1 3 =   5 3

Bem tranquila, né?

Resposta

D u   f   - 3 ,   0 ,   4 = 5 3