Enunciado

Encontre a derivada direcional de f   em P na direção de a .

f   x , y = y 2 l n x ;   P   1,4 ;   a   = - 3 i + 3 j

Passo 1

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y no ponto P   1,4 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = y 2

f x   1,4   = ( 4 ) 2 = 16

f y   x , y   = 2 y l n x

f y   1,4   = 2 * 4 * l n 1 = 0

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   1,4 e f y   1,4 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i + u 2 j  

Porém o que nos foi fornecido é a direção de a , assim, para acharmos o vetor unitário temos que utilizar a fórmula:

u   = a ‖ a ‖ =   - 3 i + 3 j - 3 2 + 3 2 = - 3 i + 3 j 18 =   - 3 i + 3 j 3 2 = - 1 2 i + 1 2 j

Agora é só fazer as substituições:

D u   f   1,4 =   f x   1,4 u 1 + f y   1,4 u 2 = 16 * - 1 2 + 0 * + 1 2 =   - 16 2

Para melhorar a aparência do resultado, podemos fazer uma manipulação multiplicando por 2 2   , assim temos:

D u   f   1,4 =   - 16 2 *   2 2 = - 16 2 2 = - 8 2

Certinho, né?

Resposta

D u   f   1,4 = - 8 2

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