Encontre a derivada direcional de f   em P na direção de a .

f   x , y = 4 x 3 y 2 ;   P   2,1 ;   a   = 4 i - 3 j

Passo 1

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y no ponto P   2,1 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 12 x 2 y 2

f x   2,1   = 12 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 = 48

f y   x , y   = 8 x 3 y

f y   2,1   = 8 ( 2 ) 3 ( 1 ) = 64

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   2,1 e f y   2,1 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i + u 2 j  

Porém o que nos foi fornecido é a direção de a , assim, para acharmos o vetor unitário temos que utilizar a fórmula:

u   = a ‖ a ‖ =   4 i - 3 j 4 2 + - 3 2 = 4 i - 3 j 25 = 4 i - 3 j 5 =   4 5 i - 3 5 j

Agora é só fazer as substituições:

D u   f   2,1 =   f x   2,1 u 1 + f y   2,1 u 2 = 48 * 4 5 + 64 * - 3 5 =   0

Certinho, né?

Resposta

D u   f   2,1 =   0