Encontre a distância entre o plano x + 2y + 6z = 1 e o plano x + 2y + 6z = 10.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos dois planos, vamos denotá-los da seguinte forma:

P 1 : x + 2 y + 6 z   e   P 2 = x + 2 y + 6 z = 10  

Se S ( x S ,   y S , z S ) é um ponto no espaço e P = x P , y P , z P é um ponto no plano A x + B y + C z = D , então a distância perpendicular entre S e o plano é dada por

d = P S → ∙ n n ,     o n d e   n = A i + B j + C k

Queremos obter a distância entre os dois planos, então vamos pegar um ponto S, no primeiro plano, para usá-lo na equação da seguinte forma, colocando x = 0 e y = 0 na equação de P 1 , obtemos que

P 1 : 0 + 2 0 + 6 z = 1 , →   z = 1 6

Com isso, temos o seguinte ponto

S = 0,0 , 1 6  

Passo 2

Indo para P 2 , colocando x = 0 e y = 0 na equação de P 2 , nós temos que

P 2 : 0 + 2 0 + 6 z = 1 0 , →   z = 1 0 6

Com isso, temos o seguinte ponto

S = 0,0 , 1 0 6  

Agora podemos obter d usando P , S e n (o vetor normal para P 2 ), da seguinte forma

d = P S → ∙ n n

Substituindo os termos, nós temos que

d = 0,0 , 9 6 ∙ 1,2 , 6 1,2 , 6 = 0 + 0 + 9 1,2 , 6

Com isso, temos o seguinte resultado

d = 9 1 2 + 2 2 + 6 2 = 9 41

Resposta

d = 9 41