Encontre dois planos diferentes cuja interseção seja a reta x = 1 + t, y = 2 – t, z = 3 + 2t. Escreva equações para cada plano na forma A(x) + B(y) + C(z) = D .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos a seguinte configuração para a reta

L : x = 1 + t ;     y = 2 - t ;     z = 3 + 2 t

E para os planos

P 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1

P 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2

As constantes na equação dos dois planos determinam se os dois planos se cruzam com a linha ou não, portanto, escolheremos dois pontos, na linha, e os faremos nos dois planos da seguinte maneira.

Colocando t = 0 na equação da reta, obtemos o ponto

P 1 = ( 1,2 , 3 )

Colocando t = 1 na equação da reta, obtemos o seguinte ponto

P 2 = ( 2,1 , 5 )

Com isso, podemos ter as seguintes equações

A 1 + 2 B 1 + 3 C 1 = D 1     ( 1 )

A 2 + 2 B 2 + 3 C 2 = D 2     ( 2 )

2 A 1 + B 1 + 5 C 1 = D 1     ( 3 )

2 A 2 + B 2 + 5 C 2 = D 2     ( 4 )

Passo 2

As duas equações (1), (3), usam os mesmos vetores com parâmetros diferentes portanto vamos escolher duas delas ( A 1 = 1   e   B 1 = 1 ) e então resolveremos as duas equações para C 1 ​ e D 1 da seguinte forma

5 + 3 C 1 = D 1

4 + 5 C 1 = D 1

Usando A 1 = 1   e   B 1 = 2 em (1) e (3). Com isso, nós temos que

C 1 = 1 2

D 1 = 13 2

Passo 3

As duas equações (2), (4), usam os mesmos vetores com parâmetros diferentes portanto vamos escolher duas delas ( A 2 = 1   e   B 2 = 3 ) e então resolveremos as duas equações para C 2 ​ e D 2 da seguinte forma

7 + 5 C 1 = D 2

5 + 5 C 2 = D 2

Usando A 1 = 1   e   B 1 = 3 em (1) e (3). Com isso, nós temos que

C 1 = 1

D 1 = 10

Portanto, usando os valores das constantes que obtivemos nas equações dos planos, temos

P 1 : x + 2 y + 1 2 z = 13 2

P 2 : x + 3 y + z = 10

Multiplicando a primeira equação por 2, temos

P 1 : 2 x + 4 y + z = 13

P 2 : x + 3 y + z = 10

Resposta

P 1 : 2 x + 4 y + z = 13

P 2 : x + 3 y + z = 10