Encontre equações paramétricas para as retas nos Exercícios 1-12.

A reta que passa por (2, 3, 0) perpendicular aos vetores u = i + 2j + 3k e v = 3i + 4j + 5k .

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Para encontrar a direção dessa reta, podemos fazer a matriz gerada pelos dois vetores. Temos então:

u × v = i       j       k 1       2       3 3       4       5

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante da nossa matriz será:

- 2 i + 4 j - 2 k

E temos como ponto:

P ( 2,3 , 0 )

Dessa forma, podemos encontrar as três equações paramétricas, respectivamente com as coordenadas, da seguinte forma:

x = 2 - 2 ( t )

y = 3 + 4 ( t )

z = 0 - 2 ( t )

Podemos então concluir, que as nossas equações paramétricas são:

x = 2 - 2 t

y = 3 + 4 t

z = - 2 t

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

x = 2 - 2 t

y = 3 + 4 t

z = - 2 t