Encontre equações para os planos nos Exercícios 21-26.

O plano que passa por P(2, 4, 5), Q(1, 5, 7), S(-1, 6, 8) .

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Chamando cada ponto desse de, respectivamente, P ,   Q   e   S , teremos as seguintes direções para o nosso plano:

P Q → = 1 - 2 i + ( 5 - 4 ) j + ( 7 - 5 ) k

P S → = - 1 - 2 i + 6 - 4 j + 8 - 5 k

Ou seja, temos que:

P Q → = - i + j + 2 k

P S → = - 3 i + 2 j + 3 k

Para encontrar a equação desse plano, podemos fazer a matriz gerada pelos dois vetores. Temos então:

P Q → × P S → = i j k - 1 1 2 - 3 2 3

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

- i - 3 j + k

Seguinte, para montar a equação do plano, vamos utilizar os coeficientes das coordenadas do plano ao qual ele é normal. Esses vão ser também nossos coeficientes multiplicadores. Temos então, respectivamente - 1 ,   - 3 ,   1 .

Já as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa, vamos subtrair de cada direção. Feito isso, vamos calcular assim:

( - 1 ) x - 1 + - 3 y - 5 + 1 z - 7 = 0

Agora ficou fácil, só simplificar! Então temos:

x + 3 y - z = 9

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

x + 3 y - z = 9