Enunciado

Encontre equações para os planos nos Exercícios 21-26.

O plano que passa por P 1 ,   1 ,   - 1 , Q 2,0 , 2 , S ( 0 , - 2,1 ) .

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Chamando cada ponto desse de, respectivamente, P ,   Q   e   S , teremos as seguintes direções para o nosso plano:

P Q → = 2 - 1 i + ( 0 - 1 ) j + ( 2 - - 1 ) k

P S → = 0 - 1 i + - 2 - 1 j + 1 - - 1 k

Ou seja, temos que:

P Q → = i - j + 3 k

P S → = - i - 3 j + 2 k

Para encontrar a equação desse plano, podemos fazer a matriz gerada pelos dois vetores. Temos então:

P Q → × P S → = i j k 1 - 1 3 - 1 - 3 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

7 i - 5 j - 4 k

Seguinte, para montar a equação do plano, vamos utilizar os coeficientes das coordenadas do plano ao qual ele é normal. Esses vão ser também nossos coeficientes multiplicadores. Temos então, respectivamente 7 ,   - 5 ,   - 4 .

Já as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa, vamos subtrair de cada direção. Feito isso, vamos calcular assim:

7 x - 2 + - 5 y - 0 + - 4 z - 2 = 0

Agora ficou fácil, só simplificar! Então temos:

7 x - 5 y - 4 z = 6

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

7 x - 5 y - 4 z = 6