Encontre uma fórmula concisa para a área de um triângulo no plano xy com vértices (a1, a2), (b1, b2) e (c1, c2).

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Temos que, se:

A = a 1 i + a 2 j

B = b 1 i + b 2 j

C = c 1 i + c 2 j

Dessa forma, temos que, a área do triangulo é dada por:

1 2 A B × A C

Por sua vez,

A × B = i     j       k b 1 - a 1   b 2 - a 2   0 c 1 - a 1   c 2 - a 2   0  

= b 1 - a 1 b 2 - a 2 c 1 - a 1 c 2 - a 2 k

Dessa forma, temos que:

A r e a =   1 2 A B × A C

Dado pelo determinante.

Passo 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Resposta

r e p o s t a   n o s   p a s s o s