Encontre o gradiente de f no ponto indicado.

f ( x , y , z ) = y^2 z t g^3 ( x ) ; ((pi)/(4) , - 3 , 1)

Passo 1

Para encontrar f_x (x , y , z) , f_y (x , y , z) e f_z (x , y , z) na coordenada ((pi)/(4) , - 3 , 1) , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f_x (x , y , z) = y^2 z * s e c^2 (x) * 3 t g^2 ( x )

f_x ((pi)/(4) , - 3 , 1) = (- 3)^2 (1) * s e c^2 ((pi)/(4)) * 3 t g^2 ((pi)/(4)) = 9 * 2 * 3 = 54

f_y (x , y , z) = 2 y z t g^3 ( x )

f_y ((pi)/(4) , - 3 , 1) = 2 (- 3) (1) t g^3 ((pi)/(4)) = - 6

f_z (x , y , z) = y^2 t g^3 ( x )

f_z ((pi)/(4) , - 3 , 1) = ( - 3 )^2 t g^3 ((pi)/(4)) = 9

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f_x ((pi)/(4) , - 3 , 1) , f_y ((pi)/(4) , - 3 , 1) e f_z ((pi)/(4) , - 3 , 1) , vamos aplicar a formula de grad f

grad f (x_0 , y_0 , z_0) = f_x (x , y , z) i + f_y (x , y , z) j + f_z (x , y , z) k

grad f (x_0 , y_0 , z_0) = 3 y^2 z s e c^2 (x) t g^2 ( x ) i + 2 y z t g^3 ( x ) j + y^2 t g^3 ( x ) k

grad f ((pi)/(4) , - 3 , 1) = 54 i - 6 j + 9 k

Tranquila, né?

Resposta

grad f (x_0 , y_0 , z_0) = 3 y^2 z s e c^2 (x) t g^2 ( x ) i + 2 y z t g^3 ( x ) j + y^2 t g^3 ( x ) k

grad f ((pi)/(4) , - 3 , 1) = 54 i - 6 j + 9 k