Enunciado

Encontre o gradiente de   f no ponto indicado.

f   ( x ,   y ,   z )   =   y 2 z   t g 3   ( x ) ;   π 4 ,   - 3 ,   1

Passo 1

Para encontrar f x   x , y , z , f y   x , y , z e f z   x , y , z na coordenada π 4 ,   - 3 ,   1 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y , z   = y 2 z * s e c 2 x * 3 t g 2 ( x )

f x   π 4 ,   - 3 ,   1   = - 3 2 1 * s e c 2 π 4 *   3 t g 2 π 4 = 9 * 2 * 3 = 54

f y   x , y , z   = 2 y z t g 3 ( x )

f y   π 4 ,   - 3 ,   1   = 2 - 3 1 t g 3   π 4 = - 6

f z   x , y , z   = y 2 t g 3 ( x )

f z   π 4 ,   - 3 ,   1   = ( - 3 ) 2 t g 3   π 4 = 9

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f x   π 4 ,   - 3 ,   1 , f y   π 4 ,   - 3 ,   1 e f z   π 4 ,   - 3 ,   1 , vamos aplicar a formula de ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 ,   z 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j + f z   x , y , z k

∇ f     x 0 , y 0 ,   z 0 =   3 y 2 z   s e c 2 x t g 2 ( x ) i + 2 y z t g 3 ( x ) j + y 2 t g 3 ( x ) k

∇ f   π 4 ,   - 3 ,   1 =   54 i - 6 j + 9 k

Tranquila, né?

Resposta

∇ f     x 0 , y 0 ,   z 0 =   3 y 2 z   s e c 2 x t g 2 ( x ) i + 2 y z t g 3 ( x ) j + y 2 t g 3 ( x ) k

∇ f   π 4 ,   - 3 ,   1 =   54 i - 6 j + 9 k

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