Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina.

Uma lâmina com densidade δ(x, y) = x + y , limitada pelo eixo x das abcissas, a reta x = 1 e a curva y = raiz(x)

Passo 1

Vamos para mais uma questão, galera!

Essa questão pede a massa e o centro de gravidade de uma lâmina. A massa pode ser obtida pela integral dupla:

M = ∬ R δ x , y d A

E o centro de gravidade por

x _ = M y M = ∬ R x δ x , y d A ∬ R δ x , y d A

y _ = M x M = ∬ R y δ x , y d A ∬ R δ x , y d A

Passo 2

Vamos calcular a massa da lâmina:

M = ∫ 0 1 ∫ 0 x x + y d y d x = ∫ 0 1 x y + y 2 2 0 x d x = ∫ 0 1 x x + ( x ) 2 2 d x = ∫ 0 1 x 3 2 + x 2 d x = 2 x 5 2 5 + x 2 4 0 1 =   2 ( 1 ) 5 2 5 + ( 1 ) 2 4 = 13 20

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de gravidade da lâmina:

M y = ∫ 0 1 ∫ 0 x x x + y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x x 2 + x y d y d x = ∫ 0 1 x 2 y + x y 2 2 0 x d x = ∫ 0 1 x 2 x + x ( x ) 2 2 d x = ∫ 0 1 x 5 2 + x 2 2 d x = 2 x 7 2 7 + x 3 6 0 1 =   2 ( 1 ) 7 2 7 + ( 1 ) 3 6 = 19 42

x _ = M y M = 19 42 13 20 = 19 42 * 20 13 = 380 546 = 190 273

M x = ∫ 0 1 ∫ 0 x y x + y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x x y + y 2 d y d x = ∫ 0 1 x y 2 2 + y 3 3 0 x d x = ∫ 0 1 x ( x ) 2 2 + ( x ) 3 3 d x = ∫ 0 1 x 2 2 + x 3 / 2 3 d x = x 3 6 + 2 x 5 / 2 15 0 1 =   ( 1 ) 3 6 + 2 ( 1 ) 5 / 2 15 = 3 10

y _ = M x M = 3 10 13 20 = 3 10 * 20 13 = 6 13

C.G 190 273 , 6 13

Resposta

M = 13 20

C . G = 190 273 , 6 13