Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina. Uma lâmina com densidade δ ( x , y ) = y , limitada por y = s e n x , y = 0 , x = 0 e x = π . Passo 1Vamos para mais uma questão, galera! Essa questão pede a massa e o centro de gravidade de uma lâmina. A massa pode ser obtida pela integral dupla: M = ∬ R δ x , y d A E o centro de gravidade por x _ = M y M = ∬ R x δ x , y d A ∬ R δ x , y d A y _ = M x M = ∬ R y δ x , y d A ∬ R δ x , y d A Lembrando que s e n x 2 = 1 - c o s 2 x 2 Passo 2Vamos calcular a massa da lâmina: M = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y d y d x = ∫ 0 π y 2 2 0 s e n x d x = ∫ 0 π ( s e n x ) 2 2 d x = ∫ 0 π 1 - c o s 2 x 4 d x = x - s e n 2 x 4 0 π = π - s e n 2 π 4 - 0 + s e n 20 4 = π 4 Passo 3Agora, vamos calcular o centro de gravidade da lâmina: M y = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x x y d y d x = ∫ 0 π x y 2 2 0 s e n x d x = ∫ 0 π x ( s e n x ) 2 2 d x = ∫ 0 π x - x c o s 2 x 4 d x = x 2 - x 2 s e n 2 x 8 0 π = π 2 - π 2 s e n 2 π 8 = π 2 8 x _ = M y M = π 2 8 π 4 = π 2 8 * 4 π = π 2 M x = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y 2 d y d x = ∫ 0 π y 3 3 0 s e n x d x = ∫ 0 π s e n x 3 3 d x = ∫ 0 π s e n x 3 s e n 2 x d x = ∫ 0 π s e n x 3 1 - c o s 2 x d x = ∫ 0 π s e n x 3 d x - ∫ 0 π s e n x c o s 2 x 3 d x Resolvendo as integrais separadas, temos: ∫ 0 π s e n x 3 d x = - c o s x 3 0 π = - c o s π 3 + c o s 0 3 = 1 3 + 1 3 = 2 3 Fazendo a regra da substituição, onde u = c o s x → d u = - s e n x d x Temos: ∫ 0 π s e n x c o s 2 x 3 d x = ∫ 0 π s e n x u 2 3 d u - s e n x = ∫ 0 π u 2 3 d u = - u 3 9 = - c o s x 3 9 0 π = - c o s π 3 9 + c o s 0 3 9 = 1 9 + 1 9 = 2 9 Assim: M x = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y 2 d y d x = ∫ 0 π s e n x 3 d x - ∫ 0 π s e n x c o s 2 x 3 d x = 2 3 - 2 9 = 4 9 y _ = M x M = 8 9 π 4 = 4 9 * 4 π = 16 9 π C.G π 2 , 16 9 π Resposta M = π 4 C . G = π 2 , 16 9 π MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA