Enunciado

Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina.

Uma lâmina com densidade δ ( x ,   y )   =   y , limitada por y = s e n x ,   y = 0 ,   x = 0   e   x = π .

Passo 1

Vamos para mais uma questão, galera!

Essa questão pede a massa e o centro de gravidade de uma lâmina. A massa pode ser obtida pela integral dupla:

M = ∬ R δ x , y d A

E o centro de gravidade por

x _ = M y M = ∬ R x δ x , y d A ∬ R δ x , y d A

y _ = M x M = ∬ R y δ x , y d A ∬ R δ x , y d A

Lembrando que s e n x 2 =   1 - c o s 2 x 2

Passo 2

Vamos calcular a massa da lâmina:

M = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y   d y d x = ∫ 0 π y 2 2 0 s e n x d x = ∫ 0 π ( s e n x ) 2 2 d x = ∫ 0 π 1 - c o s 2 x 4 d x = x - s e n 2 x 4 0 π =   π - s e n 2 π 4 - 0 + s e n 20 4 = π 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de gravidade da lâmina:

M y = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x x y   d y d x = ∫ 0 π x y 2 2 0 s e n x d x = ∫ 0 π x ( s e n x ) 2 2 d x = ∫ 0 π x - x c o s 2 x 4 d x = x 2 - x 2 s e n 2 x 8 0 π =   π 2 - π 2 s e n 2 π 8 = π 2 8

x _ = M y M = π 2 8 π 4 = π 2 8 * 4 π = π 2

M x = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y 2   d y d x = ∫ 0 π y 3 3 0 s e n x d x = ∫ 0 π s e n x 3 3 d x = ∫ 0 π s e n x 3 s e n 2 x d x

= ∫ 0 π s e n x 3 1 - c o s 2 x d x = ∫ 0 π s e n x 3 d x - ∫ 0 π s e n x c o s 2 x 3 d x

Resolvendo as integrais separadas, temos:

∫ 0 π s e n x 3 d x = - c o s x 3 0 π = - c o s π 3 + c o s 0 3 = 1 3 + 1 3 = 2 3

Fazendo a regra da substituição, onde

u = c o s x   → d u = - s e n x d x

Temos:

∫ 0 π s e n x c o s 2 x 3 d x = ∫ 0 π s e n x u 2 3 d u - s e n x = ∫ 0 π u 2 3 d u = - u 3 9 = - c o s x 3 9 0 π = - c o s π 3 9 + c o s 0 3 9 = 1 9 + 1 9 = 2 9

Assim:

M x = ∫ 0 π ∫ 0 s e n x y 2   d y d x = ∫ 0 π s e n x 3 d x - ∫ 0 π s e n x c o s 2 x 3 d x = 2 3 - 2 9 = 4 9

y _ = M x M = 8 9 π 4 = 4 9 * 4 π = 16 9 π

C.G π 2 , 16 9 π

Resposta

M = π 4

C . G = π 2 , 16 9 π

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