Responde Aí

Enunciado

Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina.

Uma lâmina com densidade δ ( x ,   y )   =   x y , localizada no primeiro quadrante e limitada pelo círculo x 2   +   y 2   =   a 2 e os eixos de coordenadas.

Passo 1

Vamos para mais uma questão, galera!

Essa questão pede a massa e o centro de gravidade de uma lâmina. A massa pode ser obtida pela integral dupla:

M = ∬ R δ x , y d A

E o centro de gravidade por

x _ = M y M = ∬ R x δ x , y d A ∬ R δ x , y d A

y _ = M x M = ∬ R y δ x , y d A ∬ R δ x , y d A

Passo 2

Vamos calcular a massa da lâmina:

M = ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x y   d y d x = ∫ 0 π x y 2 2 0 a 2 - x 2 d x = ∫ 0 a x ( a 2 - x 2 ) 2 2 d x = ∫ 0 a x a 2 2 - x 3 2 d x = x 2 a 2 4 - x 4 8 0 a =   a 2 a 2 4 - a 4 8 = a 4 8

Passo 3

Agora, vamos calcular o centro de gravidade da lâmina:

M y = ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x 2 y   d y d x = ∫ 0 π x 2 y 2 2 0 a 2 - x 2 d x = ∫ 0 a x 2 ( a 2 - x 2 ) 2 2 d x = ∫ 0 a x 2 a 2 2 - x 4 2 d x = x 3 a 2 6 - x 5 10 0 a =   a 3 a 2 6 - a 5 10 = a 5 15

x _ = M y M = a 5 15 a 4 8 = a 5 15 * 8 a 4 = 8 a 15

M x = ∫ 0 a ∫ 0 a 2 - x 2 x y 2   d y d x = ∫ 0 π x y 3 3 0 a 2 - x 2 d x = ∫ 0 a x a 2 - x 2 3 3 d x

Usando o Método da substituição, temos que:

u = a 2 - x 2 → d u = - 2 x d x → d x = - d u 2 x

∫ 0 a x a 2 - x 2 3 3 d x = ∫ 0 a x u 3 3 - 1 2 x d u = ∫ 0 a - u 3 / 2 6 d u = - 2 u 5 / 2 30 0 a = - ( a 2 - x 2 ) 5 / 2 15 0 a = - ( a 2 - a 2 ) 5 / 2 15 + ( a 2 - 0 2 ) 5 / 2 15 = ( a 2 ) 5 / 2 15 = a 5 15

y _ = M x M = a 5 15 a 4 8 = a 5 15 * 8 a 4 = 8 a 15

C.G 8 a 15 , 8 a 15

Resposta

M = a 4 8

C . G = 8 a 15 , 8 a 15