Encontre um plano que passa por P0(2, 1, –1) perpendicular à reta da interseção dos planos

2x + y - z = 3, x + 2y + z = 2.

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Gente, vamos usar os coeficientes que multiplicam as coordenadas como coeficientes das equações das retas. Ou seja:

L 1 : 2 , 1 , - 1

L 2 : 1 , 2 , 1

Para encontrar a equação desse plano, podemos fazer a matriz gerada pelos dois vetores. Temos então:

L 1 × L 2 = i j k 2 1 - 1 1 2 1

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Passo 2

Dessa forma, o determinante para essa matriz vai ser:

3 i - 3 j + 3 k

Seguinte, para montar a equação do plano, vamos utilizar os coeficientes das coordenadas do plano ao qual ele é normal. Esses vão ser também nossos coeficientes multiplicadores. Temos então, respectivamente 3 ,   - 3 ,   3 .

Já as coordenadas do ponto pelo qual o plano passa, vamos subtrair de cada direção. Feito isso, vamos calcular assim:

( 3 ) x - 2 + - 3 y - 1 + 3 z + 1 = 0

Agora é só simplificar! Então temos:

3 x - 3 y + 3 z = 0

Ou, dividindo tudo por 3 :

x - y + z = 7

Espero que tenham curtido! Até a próxima questão 😊

Resposta

x - y + z = 7