Se x M(x, y) + y N(x, y) = 0 , encontre a solução para a equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Tudo bem??

Nesta equação, vamos manipular as equações genéricas que o enunciado nos deu, lembrando que a primeira equação é muito importante para acharmos as soluções. Vamos para o exemplo!!

Passo 2

A função x M (x , y) + y N (x , y) = 0 é equivalente a:

y N (x , y) = - x M (x , y)

Agora, se substituirmos x = 0 , temos:

y N (x , y) = 0

Isso significa que x = 0 é uma solução para a equação M (x , y) d x + N (x , y) d y = 0 .

Para encontrarmos a segunda solução, vamos multiplicar os dois termos da equação por x^(- 1) y , assim conseguimos fazer uma substituição.

x^(- 1) y M (x , y) d x + x^(- 1) y N (x , y) d y = 0

Lembrando da equação definida acima: y N (x , y) = - x M (x , y)

Substituindo:

x^(- 1) y M (x , y) d x + x^(- 1) (- x M (x , y)) = 0

x^(- 1) y M d x - M d y = 0

x M (x^(- 1) y d x - x^(- 1) d y) = 0

Podemos aplicar a seguinte relação:

(d (x^(- 1) y))/(d x) = x^(- 1) y d x - x^(- 1) d y

Usando a relação, temos que:

x M (x^(- 1) y)^' = 0

Simplificamos o x M

(x^(- 1) y)^' = 0

Passando a derivada para o outro lado como uma integral.

(y)/(x) = int 0 d x

(y)/(x) = c

y = c x

Pronto, achamos a segunda solução para a equação!!

Resposta

y = c x

x = 0