Enunciado

Encontre o termo geral da série e use o teste da razão para mostrar que a série converge.

Passo 1

Um bom método de resolver essa questão é analisar a série, por exemplo, os numeradores são termos crescente, porém variam de duas em duas unidades, uma observação é que os valores são ímpares, ou seja, é como se tivéssemos um valor múltiplo de um número desconhecido e depois subtraíssemos uma unidade, como: 2 n - 1 .

Passo 2

Já nos denominadores temos termos fatoriais e, assim como os numeradores, variam de duas em duas unidades, além de também serem valores ímpares, ou seja, é como se tivéssemos um valor múltiplo de um número desconhecido e depois subtraíssemos uma unidade, como: 2 n + 1 !

Logo, a equação geral da série é: a n = 2 n - 1 2 n - 1 !

Passo 3

O comando da questão pede que apliquemos o teste da razão na equação geral, para isso colocaremos a equação geral da série no modelo:

a n + 1 a n   = L

Usando a série dada, temos os termos:

1) a n = 2 n - 1 2 n - 1 !

2) a n + 1 = 2 ( n + 1 ) - 1 2 ( n + 1 ) - 1 !

Logo:

2 ( n + 1 ) - 1 2 ( n + 1 ) - 1 ! * 2 n - 1 ! 2 n - 1 =       l i m k → + ∞ 1 2 n       =       0

Portanto,

Logo, sendo L≤0, a série converge.

Resposta

Converge para a n = 2 n - 1 2 n - 1 !

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