Encontre o termo geral da série e use o teste da razão para mostrar que a série converge.

Passo 1

Um bom método de resolver essa questão é analisar a série, nesse caso é bem evidente que temos termos fatoriais. O numerador, por exemplo, são termos fatoriais crescente que variam de uma em uma unidade, podendo ser escrito como: n !

Passo 2

Já os denominadores também são termos crescente, porém variam de duas em duas unidades, uma observação é que os valores são ímpares, ou seja, é como se tivéssemos um valor múltiplo de um número desconhecido e depois subtraíssemos uma unidade, como: 2 n - 1

Logo, a equação geral da série é: a n = n ! 2 n - 1

Passo 3

O comando da questão pede que apliquemos o teste da razão na equação geral, para isso colocaremos a equação geral da série no modelo:

a n + 1 a n   = L

Usando a série dada, temos os termos:

1) a n = n ! 2 n - 1

2) a n + 1 = ( n + 1 ) ! 2 ( n + 1 ) - 1

Logo:

( n + 1 ) ! 2 ( n + 1 ) - 1 * 2 n - 1 n ! =       l i m k → + ∞ n + 1 2 n + 1       =       1 2

Portanto,

Logo, sendo L

Resposta

a n = n ! 2 n - 1