Encontre o trabalho efetuado pelo campo de forças

  F x , y = y 2 i + x y j

para mover uma partícula de ( 0 ,   0 ) até ( 1 ,   1 ) ao longo da parábola y   =   x 2 .

Passo 1

Bora galera! Vamos fazer mais essa questão.

O trabalho pode ser calculado por

W = ∮ C F d r = ∬ σ r o t   F n d S = ∬ R r o t   F n d A

Onde:

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h  

n = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + k

Passo 2

Calculando r o t   F :

F x , y = y 2 i + x y j

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   y 2   x y   0   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   y 2   x y   | = 0 + ∂ y 2 ∂ z j + ∂ x y ∂ x k - ∂ y 2 ∂ y k - ∂ x y ∂ z i - 0 = - 0 i + 0 j + y - 2 y k = - k

Passo 3

Calculando n :

∂ f ∂ x = 0 ;   ∂ f ∂ y = x

n = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + k = x j + k

Passo 4

Por fim, vamos calcular o trabalho:

W = ∬ R r o t   F n d A = ∫ 0 1 ∫ 1 x 2 - k x j + k d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 - d y d x = ∫ 0 1 - y 0 x 2 d x = ∫ 0 1 - x 2 d x = - x 3 3 0 1 = - 1 3

Resposta

W = - 1 3