Encontre o valor de a tal que o comprimento de arco da catenária y = cosh(x) , para -a ≤ x ≤ a , seja igual a 10.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que y = cosh ⁡ x , temos que sua derivada é igual a

y ' = sinh ⁡ x

Com isso, nós temos que

s =   ∫ a b 1 + y ' 2   d x = ∫ - a a 1 + sinh ⁡ x 2   d x

Usando a relação trigonométrica cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1 , nós obtemos,

s =   ∫ - a a cosh 2 ⁡ x   d x = ∫ - a a cosh ⁡ x   d x

Com isso, nós temos que

s =   sinh ⁡ x - a a = sinh ⁡ a + sinh ⁡ a

Portanto,

s = 2 ∙ sinh ⁡ a

Passo 2

O enunciado nos fornece que o comprimento de arco da catenária é igual a 10, portanto

10 = 2 sinh ⁡ a

Ou seja, nós temos que

a = sinh - 1 ⁡ 5

Usando a definição sinh ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 + 1 , nós obtemos o seguinte resultado

a = ln ⁡ 5 + 26

Resposta

a = ln ⁡ 5 + 26