Encontre os valores extremos de 2x³-9x²+12x nos intervalos [0,3] e [0,2].

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Teorema 3:​ Valores Extremos em um Intervalo Fechado Assuma que f é contínua em [a, b] e seja f (c) o valor mínimo ou máximo em [a, b]. Então c é um ponto crítico ou um dos extremos a ou b. Os valores extremos ocorrem em pontos críticos ou pontos finais pelo Teorema 3, então podemos dividir o problema em duas etapas. Aqui dada a função f(x) = 2x³-9x²+12x em [0,3] e [0,2] precisamos encontrar os máximos e mínimos

f ( x )   =   2 x ³ - 9 x ² + 12 x

f ' ( x )   =   2 ∙ 3 ∙ x ² - 9 ∙ 2 x + 12

f ' ( x )   =   6 x ² - 18 x + 12

Para descobrir o número crítico, a equação f'(x) igual a zero descubra o valor de x f'(x) = 0

  0   =   6 x ² - 18 x + 12

6 ( x ² - 3 x + 2 )   =   0

6 ( x - 2 ) ( x - 1 ) = 0

x   =   2   e   x   =   1

Passo 2

Agora compare o valor da função para [0,3]

no ponto crítico x = 2   f ( 2 )   =   2 ∙ 2 ³ - 9 ∙ 2 ² + 12 ∙ 2   =   16 = 36 + 24   =   4

no ponto crítico x = 1 f ( 1 )   =   2 ∙ 1 ³ - 9 ∙ 1 ² + 12 ∙ 1   =   2 - 9 + 12   =   5

no ponto x = 0 f ( 0 )   =   2 ∙ 0 ³ - 9 ∙ 0 ²   +   12 ∙ 0   =   0

no ponto x = 3 f ( 3 )   =   2 ∙ 3 ³ - 9 ∙ 3 ² + 12 ∙ 3   =   54 - 81 + 36 = 9

no intervalo [0,3] máximo em x = 3 e mínimo em x = 0

Agora compare o valor da função para [0,2]

no ponto crítico x = 2   f ( 2 )   =   2 ∙ 2 ³ - 9 ∙ 2 ² + 12 ∙ 2   =   16 = 36 + 24   =   4

no ponto crítico x = 1 f ( 1 )   =   2 ∙ 1 ³ - 9 ∙ 1 ² + 12 ∙ 1   =   2 - 9 + 12   =   5

no ponto x = 0 f ( 0 )   =   2 ∙ 0 ³ - 9 ∙ 0 ²   +   12 ∙ 0   =   0

no intervalo [0,2] máximo em x = 1 e mínimo em x = 0

Resposta

Sem intervalo [0,3] máximo em x=3 e mínimo em x=0

Sem intervalo [0,2] máximo em x=1 e mínimo em x=0