Enunciado

Encontre um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.

f   ( x ,   y )   =   4 x 3 y 3   ;   P ( - 1 ,   1 )

Passo 1

Primeiramente, para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 1 ,   - 1 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 12 x 2 y 2

f x   1 ,   - 1   = 12 1 2 - 1 2 = 12

f y   x , y   = 8 x 3 y

f y   1 ,   - 1   = 8 1 3 - 1 = - 8

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f x   1 ,   - 1 e f y   1 ,   - 1 vamos aplicar a formula de gradiente, ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f   1 ,   - 1 =   12 i - 8 j

Passo 3

O vetor unitário é obtido pela fórmula:

u = ∇ f     x 0 , y 0 ‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖

Onde

‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖ = x 0 2 + y 0 2

Assim temos:

‖ ∇ f     1 ,   - 1 ‖ = 12 2 + 8 2 = 208 = 4 13

Substituindo os resultados na fórmula de u , temos:

u = 12 i - 8 j 4 13 = 3 i - 2 j 13

Tranquila, né?

Resposta

u = ( 3 i - 2 j ) / 13

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