Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 13.6 - Ex. 54

Encontre um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.

f   ( x ,   y )   =   3 x   -   l n   y ;   P ( 2 ,   4 )

Passo 1

Primeiramente, para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 2 ,   4 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y   = 3

f x   2 ,   4   = 3

f y   x , y   = - 1 y

f y   2 ,   4   = - 1 4

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f x   2 ,   4 e f y   2 ,   4 vamos aplicar a formula de gradiente, ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f   2 ,   4 =   3 i - 1 4 j

Passo 3

O vetor unitário é obtido pela fórmula:

u = ∇ f     x 0 , y 0 ‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖

Onde

‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖ = x 0 2 + y 0 2

Assim temos:

‖ ∇ f     2 ,   4 ‖ = 3 2 + - 1 4 2 = 9 + 1 16 = 144 + 1 16 = 145 4

Substituindo os resultados na fórmula de u , temos:

u = 3 i - 1 4 j 145 4 = 3 i - 1 4 j * 4 145 = 12 i - j 145  

Tranquila, né?

Resposta

u = 12 i - j 145

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