Enunciado

Encontre um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção.

f   ( x ,   y )   =   x 2 + y 2 ;   P ( 4 ,   - 3 )

Passo 1

Para derivar a função f   ( x ,   y ) teremos que usar a Regra da Cadeia, onde:

d f d x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x

d f d y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y

Onde:

u =   x 2 + y 2

f   u =   u

Para encontrar f x   x , y e f y   x , y na coordenada 4 ,   - 3 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

d f d x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = 1 2 u   2 x

f x   x , y   = 2 x 2 x 2 + y 2

f x   4 ,   - 3   = 2 * 4 2 4 2 + ( - 3 ) 2 = 4 25 = 4 5

d f d y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y = 1 2 u   2 y

f x   x , y   = 2 y 2 x 2 + y 2

f x   4 ,   - 3   = 2 * ( - 3 ) 2 4 2 + ( - 3 ) 2 = - 3 5

Passo 2

Agora, de posse dos valores de f x   4 ,   - 3 e f y   4 ,   - 3 vamos aplicar a formula de gradiente, ∇   f

∇ f     x 0 , y 0 =   f x   x , y , z i + f y   x , y , z j

∇ f   4 ,   - 3 =   4 5 i - 3 5 j

Passo 3

O vetor unitário é obtido pela fórmula:

u = ∇ f     x 0 , y 0 ‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖

Onde

‖ ∇ f     x 0 , y 0 ‖ = x 0 2 + y 0 2

Assim temos:

‖ ∇ f     4 ,   - 3 ‖ = 4 5 2 + - 3 5 2 = 16 25 + 9 25 = 25 25 = 1

Substituindo os resultados na fórmula de u , temos:

u = 4 5 i - 3 5 j 1 = 4 5 i - 3 5 j  

Tranquila, né?

Resposta

u = 4 5 i - 3 5 j

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