Encontre o volume de um paralelepípedo se quatro dentre seus oito vértices são A(0, 0, 0), B(1, 2, 0), C(0, –3, 2) e D(3, –4, 5).

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora!

Temos que um dos encontros de vértice do paralelogramo, é a subtração das coordenadas do ponto escrito depois menos o ponto escrito antes. Por exemplo no caso, de:

A B →

É a subtração das coordenadas de B menos as coordenadas de A. Dessa forma:

A B → = i + 2 j

Já a outro encontro é formado por

A C → = - 3 j + 2 k

Também temos que

A D → = 3 i - 4 j + 5 k

Para obtermos o volume, precisamos fazer A B → × A C → ⋅ A D   . Isso gera a seguinte matriz:

A B → × A C → ⋅ A D   = 1     2       0 0   - 3     2 3   - 4   5

E agora, precisamos achar o determinante dela.

Passo 2

Show, para achar o determinante de uma matriz 3x3, temos o seguinte modelo:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Traduzindo pra questão, temos a matriz:

A B → × A C → ⋅ A D   = 1     2       0 0   - 3     2 3   - 4   5

O determinante dela pode ser calculado como:

D = 5

Portanto, o volume é:

V = D = 5

Resposta

V = D = 5