1. Encontre o volume do sólido limitado pelo hiperboloide
  2. (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) - (z^2 / c^2) = 1

    e pelos planos z = 0 e z = h, h > 0.

  3. Expresse a sua resposta no item (a) em termos de h e as áreas A0 e Ah das regiões cortadas pelo hiperboloide dos planos z = 0 e z = h.
  4. Mostre que o volume no item (a) também é fornecido pela fórmula

V = h / 6 (A_0 + 4A_m + A_h)

em que Am é a área da região cortada pelo hiperboloide do plano z = h/2.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de vetores e geometria espacial.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre cilindros e superfícies quádricas.

Item a

A partir do enunciado calculamos o volume pelo método de fatiamento, tomando fatias paralelas ao plano xy. Para um z fixo temos:

x 2 a 2 c 2 + z 2 c 2 + y 2 b 2 c 2 + z 2 c 2 = 1

A área da secção elíptica é:

A z = π a c c 2 + z 2 b c c 2 + z 2 = π a b c 2 ( c 2 + z 2 )

E o volume é obtido por:

V = ∫ 0 h π a b c 2 ( c 2 + z 2 ) d z = π a b c 2 c 2 z + 1 3 z 3 | 0 h = π a b c 2 c 2 h + 1 3 h 3 = π a b h 3 c 2 3 c 2 + h 2

Passo 2

Item b

As áreas pedidas são:

A 0 = A 0 = π a b   e   A h = A h = π a b c 2 c 2 + h 2

Do item a:

V = π a b c 2 c 2 h + 1 3 h 3 = π a b h 3 3 + h 2 c 2 = π a b h 3 2 + c 2 + h 2 c 2 =

= h 3 2 π a b + π a b c 2 c 2 + h 2 = h 3 2 A 0 + A h

Item c

A área pedida é:

A m = A h 2 = π a b c 2 c 2 + h 2 4 = π a b 4 c 2 4 c 2 + h 2

= > h 6 A 0 + 4 A m + A h = h 6 π a b + π a b c 2 4 c 2 + h 2 + π a b c 2 c 2 + h 2 =

= π a b h 6 c 2 c 2 + 4 c 2 + h 2 + c 2 + h 2 = π a b h 6 c 2 6 c 2 + 2 h 2 = π a b h 3 c 2 3 c 2 + h 2 = V

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.