A equação 3*x^2 + 4*y^2 = 12 define y implicitamente como duas funções de x, se |x| ≤ 2.

Admitindo que a segunda derivada y'' existe, mostrar que ela satisfaz à equação 4 * y^3 * y'' = -9 .

Passo 1

Primeiro vamos derivar 3 x 2 + 4 y 2 = 12 em x sabendo que y é função de x (teremos que usar a regra da cadeia).

Derivando em x:

6 x + 8 y y ' = 0   → y ' =   - 3 x 4 y

Passo 2

Agora vamos derivar novamente para achar y ' ' , para isso usaremos a regra do quociente.

y ' =   - 3 x 4 y   → y ' ' =   - ( 3 x ' 4 y - ( 4 y ) ' 3 x 4 y 2

y ' ' = 12 x y ' - 12 y 16 y 2

Substituindo o valor de y ' conhecido:

y ' ' = 12 x   - 3 x 4 y - 12 y 16 y 2

y ' ' = - 9 x 2 - 12 y   16 y 2

y ' ' = - 3 ( 3 x 2 + 4 y 2 ) 16 y 3

Passo 3

Vamos usar a equação inicial que diz: 3 x 2 + 4 y 2 = 12  

y ' ' = - 3 12 16 y 3 = - 9 4 y 3

Veja que satisfaz a equação 4 y 3 y ' ' =   - 9 , basta substituir y ' '

4 y 3 - 9 4 y 3 = - 9   é   v e r d a d e ,   l o g o   s a t i s f a z .

Resposta

Demonstração