Se 0 < x < 5 , a equação x^(1/2) + y^(1/2) = 5 define y como uma função de x. Sem a resolver em ordem a y, mostrar que a derivada y' tem um sinal fixo. (Supõe-se que y' existe).

Passo 1

Primeiro vamos derivar a equação x 1 2 + y 1 2 = 5 , lembrando que y é função de x, então quando derivarmos em x iremos aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando:

1 2 x 1 2 - 1   + 1 2 y - 1 2 y ' = 0

1 2 x + 1 2 y y ' = 0

Passo 3

Agora devemos analisar o sinal da equação acima.

Vale lembrar que a raiz de um número real é sempre um número positivo, por definição.

Ou seja:

1 2 x > 0 , como 1 2 x + 1 2 y y ' = 0

E o lado esquerdo é sempre maior que zero, temos que o lado direito ( 1 2 y y ' )   tem q ser menor do que zero, para quando somarmos dê zero.

Então 1 2 y y ' < 0 ,   p o r é m 1 2 y > 0   ,   l o g o   y ' < 0 .

Resposta

Demonstração