A equação x^3 + y^3 = 1 define y como uma ou mais funções de x.

a.Supondo que a derivada y' existe, e sem resolver a equação relativamente a y, provar que y' verifica a equação x^2 + y^2 + y' = 0

b.Supondo que a segunda derivada y'' existe, mostrar que y'' = -2x * y^(-5)

Passo 1

O primeiro passo para entender e provar o item (a) é derivar a equação original em x (lembrando que y = y(x), então usaremos a regra da cadeia)

x 3 + y 3 = 1

3 x 2 + 3 y 2   y ' = 0   ,   d i v i d i n d o   p o r   3 :

x 2 + y 2 y ' = 0 ,   p r o v a n d o   o   p r i m e i r o   p e d i d o .

Passo 2

Da equação do item (a) conseguimos achar a segunda derivada.

x 2 + y 2 y ' =   0  

y ' =   - x 2 y 2

Passo 3

Agora basta derivar essa equação, usando a regra do quociente:

y ' ' = -   ( x 2 ' y 2 - y 2 ' x 2 y 2 2

y ' ' = 2 y y ' x 2 - 2 x y 2 y 4 ,   s u b s t i t u i n d o   y ' p e l o   v a l o r   c o n h e c i d o :

y ' ' = 2 y x 2 - x 2 y 2 - 2 x y 2 y 4

y ' ' = - 2 x ( y 3 + x 3 ) y 5 ,   e x a t a m e n t e   o   q u e   s e   p e d e ,   p o i s   x 3 + y 3 = 1

Resposta

Demonstração