A equação diferencial

x y ' ' - x + N y ' + N y = 0  

Onde N e um inteiro não negativo, foi discutida por diversos autores. Uma razão para esse interesse 6 que ela tem uma solução exponencial e uma solução polinomial.

a) Verifique que uma solução é y 1 x =   e x

b) Mostre que uma segunda solução tem a forma y 2 x =   C e x ∫ x N e - x d x   . Calcule y 2 x   p a r a   N = 1   e   N = 2    

y 2 x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! +     … + X N N !

Note que y 2 x   é precisamente a soma das N   +   1 primeiras parcelas da serie de Taylor para e' em torno de x   = 0 , ou seja, da série de Taylor para   y 1 , ( x ) .

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício!

Neste item vamos verificar se y 1 x =   e x   é solução na nossa EDO.

x y ' ' - x + N y ' + N y = 0

Tranquilo?

Bora lá começar então!

Vamos começar diferenciando y 1 x =   e x com relação a t, com isso teremos:

y ' 1 x =   e x

Derivando novamente com relação a t:

y " 1 x =   e x

Agora vou substituir nessas derivadas em nossa E.D.O.

x   e x - x + N   e x + N   e x = 0

x   e x - x   e t - N e x + N   e x = 0

0 = 0

Logo y 1 x =   e x é solução da EDO x y ' ' - x + N y ' + N y = 0

Passo 2

Neste item devemos mostrar que uma segunda solução tem a forma y 2 x =   C e x ∫ x N e - x d x   .

Para simplificar nossa vida vamos definir que y 2 x = y 1 x . v ( x )   , logo:

y 2 x = e x v ( x )

Vamos começar diferenciando a expressão acima em relação a t :

y ' 2 x = e x v ' t +   e x v t

Derivando novamente com relação a t:

y " 2 x = e x v " x +   e x v ' x + e x v ' x +   e x v x

y " 2 x = e x v " x +   2 e x v ' x +   e x v x

Substituindo na EDO dada na questão:

x y ' ' - x + N y ' + N y = 0

x ( e x v " x +   2 e x v ' x +   e x v x ) - x + N ( e x v ' t +   e x v t ) + N e x v ( x ) = 0

x e x v " x +   2 x e x v ' x +   x e x v x - x e x v ' x -   x e x v ' x + x e x v ( x )

- N e x v ' x - N e x v ' x + - N e x v x = 0    

x e x v " x + ( x - N )   e x v ' x = 0

x v " x + ( x - N )   v ' x = 0

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Utilizando o método de separação de variáveis vamos resolver a EDO integrando ambos os lados: x v " x + ( x - N )   v ' x = 0

x v " x = ( N - x   )   v ' x

v " x v ' x = ( N - x   ) x  

∫ v " x v ' x = ∫ ( N - x   ) x   d x

∫ v " x v ' x = ∫ N x   d x - ∫ d x

ln ⁡ v ' x = N l n x + ln ⁡ C

l n v ' x C x N = - x

v ' x C x N = e - x

v ' x = C x N e - x

Integrado novamente:

∫ v ' x = c ∫ x N e - x d x v =   c ∫ x N e - x

Lembrando que y 2 x =   C e x ∫ x N e - x d x

Com isso mostramos que y 2 x também é solução da EDO fornecida no exercício.

Até aí tranquilo?

Quase acabando continua por aqui, beleza!

Passo 3

Vamos encontrar y 2 x   para N = 1   e   N =   2

Para N =   1

y 2 x =   C e x ∫ x N e - x d x

Podemos realizar a integração por partes para obter:

y 2 x =   C e x [ - x   (   x + 1 ) e x

y 2 x =   K ( x + 1 )

Para N =   2

y 2 x =   C e x ∫ x N e - x d x

Podemos realizar a integração por partes para obter:

y 2 x =   C e x [ - ( x 2 + 2 x + 2 ) e - x

y 2 x =   K ( x 2 + 2 x + 2 )

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

y 2 x =   K ( x 2 + 2 x + 2 )

y 2 x =   K ( x + 1 )

y 2 x =   C e x ∫ x N e - x d x