A equação diferencial
Onde N e um inteiro não negativo, foi discutida por diversos autores. Uma razão para esse interesse 6 que ela tem uma solução exponencial e uma solução polinomial.
a) Verifique que uma solução é
b) Mostre que uma segunda solução tem a forma . Calcule
Note que é precisamente a soma das primeiras parcelas da serie de Taylor para e' em torno de , ou seja, da série de Taylor para
Passo 1
Saudações galerinha! Tudo bem?
Vamos juntos resolver mais um exercício!
Neste item vamos verificar se é solução na nossa EDO.
Tranquilo?
Bora lá começar então!
Vamos começar diferenciando com relação a t, com isso teremos:
Derivando novamente com relação a t:
Agora vou substituir nessas derivadas em nossa E.D.O.
Logo é solução da EDO
Passo 2
Neste item devemos mostrar que uma segunda solução tem a forma .
Para simplificar nossa vida vamos definir que , logo:
Vamos começar diferenciando a expressão acima em relação a :
Derivando novamente com relação a t:
Substituindo na EDO dada na questão:
Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!
Utilizando o método de separação de variáveis vamos resolver a EDO integrando ambos os lados:
Integrado novamente:
Lembrando que
Com isso mostramos que também é solução da EDO fornecida no exercício.

Até aí tranquilo?
Quase acabando continua por aqui, beleza!
Passo 3
Vamos encontrar para
Para
Podemos realizar a integração por partes para obter:
Para
Podemos realizar a integração por partes para obter:
Ufa essa foi longa!
Te vejo na próxima questão!