A equação diferencial de um sistema massa-mola é x'' + 16x = 0 . Se a massa for incialmente do ponto 1m acima da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 3 m / s para baixo, a amplitude de vibração será (_) metros.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

x ' ' + 16 x = 0

Façamos 16 = ω 2

x ' ' + ω 2   x = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;     y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + ω 2 = 0

λ = ± i ω

Logo

x ( t ) = c 1 e ( i ω ) t + c 2 e ( - i ω ) t

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

x ( t ) = c 1 cos ⁡ ω x + i   s e n ω t + c 2 cos ⁡ ω x - i   s e n ω t

x ( t ) = c 1 + c 2 cos ⁡ ω t + i c 1 - c 2 s e n ω t  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

x ( t ) = a cos ⁡ ω t + b   s e n ω t

Relembrando k 2 = 16 → k = 16 = 4

x ( t ) = a cos ⁡ 4 t + b   s e n 4 t

Onde a e   b são definidos pelas condições inicias:

x 0 = - 1 = a

x ' 0 = 3 = b ω → = b = 3 ω = 3 4

Logo:

x ( t ) = - cos ⁡ 4 t + 3 4 s e n ( 4 t )

Que pode ser escrito como:

x ( t ) = 5 4   s e n 4 t - 0,927

A amplitude será máxima quando e n 4 x - 0,927 = 1 logo:

A m á x = 5 4  

Resposta

A m á x = 5 4   m e t r o s