A equação x   s e n x y + 2 x 2 = 0 define y implicitamente como uma função de x. Admitindo que a derivada y ' existe, mostrar que ela satisfaz à equação y ' x 2 c o s x y + x y c o s x y + s e n x y + 4 x = 0

Passo 1

Primeiro vamos derivar a equação original, lembrando que y é função de x (faremos regra da cadeia):

x   s e n x y + 2 x 2 = 0   →

→ x s e n x y ' + 4 x = 0

Vamos fazer a regra do produto no primeiro termo:

x ' s e n x y + x s e n x y ' + 4 x = 0

Passo 2

Agora vamos ter q ir com calma e usar que y é função de x.

x ' s e n x y + x s e n x y ' + 4 x = 0

s e n x y + x x y ' cos ⁡ x y + 4 x = 0

Passo 3

Faremos a regra do produto novamente:

s e n x y + x x y ' + y cos ⁡ x y + 4 x   = 0

Fazendo a distributiva:

y ' x 2 cos ⁡ x y + x y c o s x y + s e n x y + 4 x = 0

Exatamente o que queríamos.

Resposta

Demonstração